Salve a tutti,
oggi vi illustrerò come svolgere un problema di fisica meccanica.
Il problema è tratto da " PROBLEMI DI FISICA GENERALE - MECCANICA , TERMODINAMICA - P. MAZZOLDI A. SAGGION C. VOCI ".
Iniziamo!
Un punto materiale di massa m viene abbandonato con velocità nulla dalla posizione A di una guida semicircolare liscia di raggio R, posta in un piano verticale.
Calcolare in funzione di [tex]\Theta[/tex] il valore del modulo della velocità.
Per trovare il modulo della velocità ci avvaliamo del principio di conservazione dell'energia meccanica .
[tex]E_{pA}+E_{kA}=E_{pB}+E_{kB}[/tex]
Ovvero la somma tra l'energia potenziale iniziale e l'energia cinetica iniziale è uguale alla somma fra energia potenziale finale e energia cinetica finale.
Analizziamo dunque il problema:
- Sappiamo dal testo del problema che il corpo viene abbandonato con velocità iniziale nulla.
Ne ricaviamo che [tex]E_{kA}[/tex] = 0
- Sappiamo anche che il corpo parte da un'altezza R
Ne ricaviamo dunque che l'energia potenziale gravitazione iniziale sarà:
[tex]E_{pB}=mgR[/tex]
Fermiamoci un attimo e riscriviamo la conservazione dell'energia meccanica per esteso sostituendo ciò che abbiamo trovato con le considerazioni sopracitate.
[tex]mgR=E_{pB}+\frac{1}{2}mv^2[/tex]
Ci manca solo l'energia potenziale in un punto qualsiasi.
Iniziamo a trarre un paio di conclusioni su come potremmo scrivere la relazione dell'energia potenziale in funzione del raggio e dell'angolo.
N.B.Per queste considerazioni c'è bisogno di conoscere la TRIGONOMETRIA.
Consideriamo tre posizioni della pallina ( evidenziate con diversi colori nell'immagine )
Posizione BLU
Questa posizione è pressochè quella iniziale, dunque abbiamo
[tex]E_{pB}=mgR[/tex]
Posizione ARANCIONE
Possiamo considerare questo il ' livello zero ' dell'energia, dunque la nostra energia potenziale sarà tramutata tutta in cinetica, e la nostra equazione
[tex]E_{pB}=0[/tex]
Posizione ROSSA
La posizione ROSSA indica una generica posizione del punto lungo la guida circolare, dobbiamo dunque scoprire una relazione con l'angolo ed il raggio che ci permetta di trovare l'altezza.
Sappiamo che la MASSIMA altezza è R e la minima è 0 , e che , grazie alla trigonometria possiamo rappresentare la variazione di posizione della pallina come la proiezione sul raggio del segmento immaginario che congiunge la pallina al centro della circonferenza ( triangolo verde nell'immagine ).
[tex]h=R\cos\theta[/tex]
Così facendo però troveremo i risultati invertiti rispetto alle nostre considerazioni, in quanto troveremo altezza massima quando per noi è h=0! Possiamo però sfruttare il fatto che il coseno vari tra 1 e -1 per invertire i valori:
[tex]h=R(1-\cos\theta)[/tex]
Abbiamo praticamente finito! Sostituiamo questo valore nell'equazione della conservazione dell'energia meccanica ed otteniamo:
[tex]mgR=\frac{1}{2}mv^2+mgR(1-\cos\theta)[/tex]
Non ci resta che isolare la velocità.
[tex]v=\sqrt{2gRcos\theta}[/tex]
oggi vi illustrerò come svolgere un problema di fisica meccanica.
Il problema è tratto da " PROBLEMI DI FISICA GENERALE - MECCANICA , TERMODINAMICA - P. MAZZOLDI A. SAGGION C. VOCI ".
Iniziamo!
Un punto materiale di massa m viene abbandonato con velocità nulla dalla posizione A di una guida semicircolare liscia di raggio R, posta in un piano verticale.
Calcolare in funzione di [tex]\Theta[/tex] il valore del modulo della velocità.
Per trovare il modulo della velocità ci avvaliamo del principio di conservazione dell'energia meccanica .
[tex]E_{pA}+E_{kA}=E_{pB}+E_{kB}[/tex]
Ovvero la somma tra l'energia potenziale iniziale e l'energia cinetica iniziale è uguale alla somma fra energia potenziale finale e energia cinetica finale.
Analizziamo dunque il problema:
- Sappiamo dal testo del problema che il corpo viene abbandonato con velocità iniziale nulla.
Ne ricaviamo che [tex]E_{kA}[/tex] = 0
- Sappiamo anche che il corpo parte da un'altezza R
Ne ricaviamo dunque che l'energia potenziale gravitazione iniziale sarà:
[tex]E_{pB}=mgR[/tex]
Fermiamoci un attimo e riscriviamo la conservazione dell'energia meccanica per esteso sostituendo ciò che abbiamo trovato con le considerazioni sopracitate.
[tex]mgR=E_{pB}+\frac{1}{2}mv^2[/tex]
Ci manca solo l'energia potenziale in un punto qualsiasi.
Iniziamo a trarre un paio di conclusioni su come potremmo scrivere la relazione dell'energia potenziale in funzione del raggio e dell'angolo.
N.B.Per queste considerazioni c'è bisogno di conoscere la TRIGONOMETRIA.
Consideriamo tre posizioni della pallina ( evidenziate con diversi colori nell'immagine )
Posizione BLU
Questa posizione è pressochè quella iniziale, dunque abbiamo
[tex]E_{pB}=mgR[/tex]
Posizione ARANCIONE
Possiamo considerare questo il ' livello zero ' dell'energia, dunque la nostra energia potenziale sarà tramutata tutta in cinetica, e la nostra equazione
[tex]E_{pB}=0[/tex]
Posizione ROSSA
La posizione ROSSA indica una generica posizione del punto lungo la guida circolare, dobbiamo dunque scoprire una relazione con l'angolo ed il raggio che ci permetta di trovare l'altezza.
Sappiamo che la MASSIMA altezza è R e la minima è 0 , e che , grazie alla trigonometria possiamo rappresentare la variazione di posizione della pallina come la proiezione sul raggio del segmento immaginario che congiunge la pallina al centro della circonferenza ( triangolo verde nell'immagine ).
[tex]h=R\cos\theta[/tex]
Così facendo però troveremo i risultati invertiti rispetto alle nostre considerazioni, in quanto troveremo altezza massima quando per noi è h=0! Possiamo però sfruttare il fatto che il coseno vari tra 1 e -1 per invertire i valori:
[tex]h=R(1-\cos\theta)[/tex]
Abbiamo praticamente finito! Sostituiamo questo valore nell'equazione della conservazione dell'energia meccanica ed otteniamo:
[tex]mgR=\frac{1}{2}mv^2+mgR(1-\cos\theta)[/tex]
Non ci resta che isolare la velocità.
[tex]v=\sqrt{2gRcos\theta}[/tex]
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